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2020河北特崗教師備考:《角平分線性質》說課稿

2020-06-29 13:47:15| 邯鄲中公教育
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一、說教材

《角平分線性質》是北師大版八年級下冊第一章第四節的內容,角平分線的性質在第一冊的教材中已經介紹過,它的性質很重要,在幾何里證明線段或角相等時常常用到它們,同時在做圖中也運用廣泛,運用HL定理來證明直角三角形全等的方法為證明角平分線的性質定理和逆定理創造了條件。性質定理和它的逆定理為證明線段相等、角相等開辟了新的途徑,簡化了證明過程。

二、說學情

接下來,我來談談我班學生情況。他們對于知識具有較好的理解能力和應用能力,喜歡合作探討式學習,對數學學習有較濃厚的興趣。在以往的學習中,學生的動手能力已經得到了一定的訓練,本節課將進一步培養學生這些方面的能力。

三、教學目標

教學目標是教學活動實施的方向、和預期達到的結果、是一切教學活動的出發點和歸宿,我精心設計了如下的教學目標:

【知識與技能】

進一步了解角平分線的性質和判定,能夠證明角平分線的性質和判定定理并且會運用角平分線性質去解決問題。

【過程與方法】

通過對“角平分線性質”的探究,提析問題、解決問題的能力。

【情感態度與價值觀】

通過一系列的證明過程,體驗數學活動充滿著探索性和創造性,增強學習數學的興趣和勇于創新的精神。

四、教學重難點

本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎上我確定了以下重難點:

【重點】

證明角平分線的性質和判定。

【難點】

靈活運用角平分線性質解決問題。

五、教學方法

根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的認知特點,我采用啟發式、探索式教學方法,意在幫助學生通過觀察,自己動手,從實踐中獲得知識。整個探究學習的過程充滿了師生之間、學生之間的交流和互動,體現了教師是教學活動的組織者、引導者,而學生才是學習的主體。

六、教學過程

教學過程是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程,具體教學過程如下:

(一)導入新課

問題: 習題1.8的第1題作三角形的三個內角的角平分線,你發現了什么?能證明自己發現的結論一定正確嗎?

于是,首先證明“三角形的三個內角的角平分線交于一點”

當然學生可能會提到折紙證明、軟件演示等方式證明,但最終,教師要引導學生進行邏輯上的證明。

(設計意圖:在這一環節,通過回顧上節課的知識來回顧三角形三個內角的角平分線的位置關系。進而引出本節課的內容,溫故知新,讓學生沒有陌生感。)

(二)新課講授

問題一:

已知:如圖,設△ABC的角

平分線.BM、CN相交于點P,

證明:P點在∠BAC的角平分線上.

證明:過P點作PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,其中D、E、F是垂足.

∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,

∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).

同理:PE=PF.

∴PD=PF.

∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內部,且到角兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).

∴△ABC的三條角平分線相交于點P.

在證明過程中,我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外,還有什么“附帶”的成果呢?

(PD=PE=PF,即這個交點到三角形三邊的距離相等.)

于是我們得出了有關三角形的三條角平分線的結論,即定理三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.

下面我通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質定理

問題二:

如圖:直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可選擇的地址有幾處?你如何發現的?

要求學生思考、交流。實況如下:

[生]有一處.在三條公路的交點A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點處.因為三角形三條角平分線交于一點,且這一點到三邊的距離相等.而現在要建的貨物中轉站要求它到三條公路的距離相等.這一點剛好符合.

[生]我找到四處.(同學們很吃驚)

除了剛才同學找到的三角形ABC內部的一點外,我認為在三角形外部還有三點.作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點P1(如下圖所示),我們利用角平分線的性質定理和判定定理,可知點P1在∠CAB的角平分線上,且到l1、l2、l3的距離相等.同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點P3;因此滿足條件共4個,分別是P、P1、P2、P3

教師講評。

(設計意圖:學生容易混淆角平分線和垂直平分線定理,在這里以例題的方式講解更易于學生接受和理解并且能夠解決實際問題。)

(三)例題講解

[例1]如圖,在△ABC中.AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.

(1)已知CD=4 cm,求AC的長;

(2)求證:AB=AC+CD.

分析:本例需要運用前面所學的多個定理,而且將計算和證明融合在一起,目的是使學生進一步理解、掌握這些知識和方法,并能綜合運用它們解決問題.第(1)問中,求AC的長,需求出BC的長,而BC=CD+DB,CD=4 cIn,而BD在等腰直角三角形DBE中,根據角平分線的性質,DE=CD=4cm,再根據勾股定理便可求出DB的長.第(2)問中,求證AB=AC+CD.這是我們第一次遇到這種形式的證明,利用轉化的思想AB=AE+BE,所以需證AC=AE,CD=BE.

(1)解:∵AD是△ABC的角平分線,

∠C=90°,DE⊥AB.

∴DE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等).

∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等邊對等角).

∵∠C=90°,

∴∠B=2(1)×90°=45°.

∴∠BDE=90°—45°=45°.

∴BE=DE(等角對等邊).

在等腰直角三角形BDE中

BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理),

∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.

(2)證明:由(1)的求解過程可知,

Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)

∴AC=AE.

∵BE=DE=CD,

∴AB=AE+BE=AC+CD.

[例2]已知:如圖,P是么AOB平分線上的一點,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別為C、D.

求證:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分線.

證明:(1)P是∠AOB角平分線上的一點,PC⊥OA,PD⊥OB,

∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).

在Rt△OPC和Rt△OPD中,

OP=OP,PC=PD,

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).

∴OC=OD(全等三角形對應邊相等).

(2)又OP是∠AOB的角平分線,

∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理).

思考:圖中還有哪些相等的線段和角呢?

(設計意圖:通過書本例題,鞏固本節課關于角平分線性質的定理以及應用,學生能夠通過例題來理解其定理的使用方法以及情況。)

(四)課時小結

本節課我們利用角平分線的性質和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點,且這一點到三角形各邊的距離相等.并綜合運用我們前面學過的性質定理等解決了幾何中的計算和證明問題.

(設計意圖:通過小結,引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲,通過建立知識之間的聯系,凸顯將復雜圖形轉化為簡單圖形的基本單元的化歸思想,強調從特殊到一般地研究問題的方法。)

(五)課后作業

習題1.9第1、2題并且有能力的同學預習下一節課內容。

(設計意圖:學生通過課前的預習,能對新知識有一個初步的理解,對新知識學習的順利進行有著促進的作用。)

七、板書設計

為了體現教材中的知識點,以便于學生能夠理解掌握,我采用圖表式的板書,這就是我的板書設計。

角平分線性質

定理:角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

定理:在一個角的內部,到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

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(責任編輯:李希)

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